координаты вектора в данном базисе

Содержание 09.10.12, М. Лекция ЂЂЂ 18 (07.05.10)Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R2 рассмотрим отобра]жение ЂЂЂ поворота всех векторов на угол ЂЂЂ вокруг начала координат против часовой стрелки.Рисунок показывает, что наше отображение является линейным оператором: ЂЂЂ(a + b) = ЂЂЂ(a) + ЂЂЂ(b); ЂЂЂ(ЂЂЂa) = ЂЂЂЂЂЂ(a). Мы хотим записать матрицу AЂЂЂ(e) в стандартном базисе e1, e2. ЂЂЂ(e1) = cosЂЂЂЂЂЂe1 + sinЂЂЂЂЂЂe2; ЂЂЂ(e2) = ЂЂЂsinЂЂЂЂЂЂe1 + cosЂЂЂЂЂЂe2. . W 8. 2. Действия над линейными операторами8.2.1. Перемена порядка суммирования в конечных суммах Вообразим, что нам дана прямоугольная таблица (матрица) A, заполненная числами (дейст]вительными или комплексными) или векторами (более общо, лю]быми элементами, которые можно складывать c выполнением законов ассоциатив]ности и коммутативности сложения). Мы хотим найти сумму всех элементов aij этой таблицы. Это можно сделать многими спо]собами, но два способа очевидны.Вычислим сначала сумму всех элементов каждого столбца, а полученные суммы сложим. Мы получим искомую сумму ЂЂЂ. Но можно поступить по-другому: сначала сложить все элементы каждой строки, а затем сложить полученные суммы. Естественно, мы получим то же число (или вектор) ЂЂЂ. Запишем ЂЂЂ двумя вышеуказанными способами: ЂЂЂ = = . Мы видим, что два выражения отличаются только порядком записи знаков суммирования. ^ Вывод: в конечных суммах можно менять порядок суммирования. Примечание. В математическом анализе рассматриваются иногда бесконечные суммы рас]сматриваемого типа (суммы рядов). Для них наше утверждение о возможности перемены порядка суммирования, вообще говоря, не]верно (верно только при определённых предположениях типа абсолютной сходимости рядов).^ 8.2.2. Ассоциативность умножения матриц Теорема. Пусть даны три матрицы: матрица A размера (m, n), матрица B раз]мера (n, s) и матрица C размера (s, t). Тогда (AB)C = A(BC) (обе матрицы существуют и равны). Доказательство. При сделанных предположениях обе матрицы существуют и имеют оди]наковые размеры (m, t). Вычислим произвольный элемент левой и правой матриц и сравним их: ((AB)C)ij = = = = ; (A(BC))ij = = = = . Мы видим, что наши два выражения отличаются только порядком записи зна]ков суммиро]вания. В силу сказанного выше они равны, QED.^ 8.2.3. Дистрибутивность произведения матриц Аналогично можно доказать свойства дистрибутивности умножения матриц относительно сложения: A(B + C) = AЂЂЂB + AЂЂЂC; (A + B)ЂЂЂC = AЂЂЂC + BЂЂЂC.^ 8.2.4. Изображение вектора в данном базисе Пусть дан произвольный базис u1, u2, ЂЂЂ, un пространства Rn, и пусть дан ещё произволь]ный вектор x. Мы можем разложить этот вектор по данному базису: x = xiui, а набор коэффициентов (координат вектора) записать в виде матрицы-столбца (век]тор-столбца) ^ X = . Такую запись будем называть изображением данного вектора в данном базисе. Приве]дём пример, показывающий, что изображение данного век]тора, вообще говоря, отличается от обычной записи этого вектора как элемента про]странства Rn (эти записи совпадают, если базис стандартный). В нашем примере u1 = , u2 = , u3 = ; x = u3 ЂЂЂ u2 ЂЂЂ u1 = ЂЂЂ = X ЂЂЂ x.^ 8.2.5. Координаты образа вектора при действии линейного оператора Пусть в пространстве Rn действует линейный оператор v, а его матрица в не]котором произ]вольном базисе есть A. Пусть также x ЂЂЂ некоторый вектор, y = ЂЂЂ(x) ЂЂЂ его образ под действием дан]ного оператора v. Обозначим через X изображе]ние век]тора x в данном базисе, а через Y ЂЂЂ изобра]жение вектора y. Нас интересует связь между матрицами X, Y и A. Я утверждаю, что такая связь выражается следующей формулой: Y = AX. В самом деле, если данный базис u1, u2, ЂЂЂ, un, то y = ЂЂЂ(x) = ЂЂЂ() = = = = = =. Последняя запись есть разложение вектора y по базису uj, а так как коэффици]енты такого разложения определяются однозначно, то мы имеем: yj = = (AX)j. Это доказывает нашу формулу.^ 8.2.6. Действия над линейными операторами Пусть ЂЂЂ и ЂЂЂ ЂЂЂ линейные операторы в векторном пространстве V. Суммой этих линейных операторов называется отображение ЂЂЂ + ЂЂЂ, действующее (по определе]нию) следующим образом: x ЂЂЂ (ЂЂЂ + ЂЂЂ)(x) = ЂЂЂ(x) + ЂЂЂ(x). Проверим, что ЂЂЂ + ЂЂЂ ЂЂЂ линейный оператор. Согласно нашему определению, (ЂЂЂ + ЂЂЂ)(x + y) = ЂЂЂ(x + y) + ЂЂЂ(x + y) = ЂЂЂ(x) + ЂЂЂ(y) + ЂЂЂ(x) + ЂЂЂ(y) = (ЂЂЂ(x) + ЂЂЂ(x)) + (ЂЂЂ(y) + ЂЂЂ(y)) = = (ЂЂЂ + ЂЂЂ)(x) + (ЂЂЂ + ЂЂЂ)(y).Мы воспользо

39.81 Kb.Название Дата конвертации06.11.2012Размер39.81 Kb.Тип источник

Лекция ЂЂЂ18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R

Лекция ЂЂЂ18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R